De ce sunt necesare demonstratiile?

-🧔 Pe scurt: demonstratiile sunt necesare pentru ca intuitia si aparentele ne pot insela.
Acesta este unul dintre cele mai importante lucuri pe care matematica le educa. Eu cred ca, in scoala, ar trebui sa se insiste mai mult asupra unor aspecte cum ar fi PARADOXUL, SOFISMUL, etc.!
Un exemplu in care rolul demonstratiei devine evident este curba continua, nicaieri derivabila (adica, un fel de fierastrau cu o infinitate de dinti). Intuitia ne-a spus, timp de sute de ani, ca asa ceva nu este posibil. Asta pana in anul 1872, cand Karl Weierstrass a construit celebrul exemplu de funcție continuă, nicăieri derivabilă.
In acest mini-articol as dori sa discutam un alt exemplu de "pacaleala"...

Problema

Un elev a reusit sa construiasca un triunghi care, aparent, are laturile de 2, 3 si 5 cm.
Explicati cum a fost posibil?

Pai, unde este contradictia? De ce nu ar fi posibil?
Stim prea bine ca drumul cel mai scurti intre doua puncte este in linie dreapta (cel putin intr-un spatiu Euclidian 😊).
Aceasta este legata direct de faptul ca, intr-un triunghi ABC: BC < AB + AC (+ relatiile similare pentru celelalte doua combinatii de laturi)
In cazul problemei noastre concrete: Δ(2,3,5), se poate observa rapid faptul ca treaba e putreda 😊:
Sa zicem ca ar fi posibil sa construim un astfel de triunghi (REDUCERE LA ABSURD):
AB = 2, AC = 3, BC = 5 => putem lua N pe BC, astfel incat BN = 2 si CN = 3 => ΔABN isoscel si ΔACN isoscel =>
∠BAN + ∠CAN = ∠BAC = ∠BNA + ∠CNA = ∠BNC = 180 => ABSURD (prin doua puncte distincte trece o singura dreapta)!

Dar, cum s-ar explica aparenta reusita a elevului?
In triunghiul ABC cu AB = 2 si BC = 5, AC tinde la 3 atunci cand ∠ABC tinde la 0.
Astfel, grosimea creionului, precizia finita a compasului si a riglelor folosite etc. etc. ne... PACALESC!
In imaginea de mai jos se poate observa o zona de suprapunere a celor doua cercuri.
Aceasta este zona in care elevul nostru a avut impresia ca a reusit sa deseneze un triunghi imposibil.

Home